Объективно новую смену парадигмы можно связать с тем, что, начиная со второй половины ХХ века, в науке, как никогда ранее, стало проявляться стремление к интеграции знания, примером чего могут служить кибернетика Н. Винера, системный подход Л. Берталанфи, программа синтеза и анализаа образов У. Гренандера, теория катастроф Р. Тома и К. Зимана, фрактальная теория Б. Мандельбро, теория самоорганизации "диссипативных" структур, известная по работам И. Пригожина, синергетика Г. Хакена. По существующим определениям, синергетика изучает процессы самоорганизации в открытых системах. Она исходит из термодинамики и предметом своего изучения имеет антиэнтропийные процессы в диссипативных структурах.. Процессы самоорганизации оказались универсальными для целого ряда систем.

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Динамическая система - любая система (какой бы ни была ее природа: физическая, химическая, электромагнитная, биологическая, экономическая и т.д.), которая может принимать различные математические формы: обыкновенных дифференциальных уравнений (автономных и неавтономных), дифференциальных уравнений в частных производных, отображений (обратимых и необратимых) прямой или плоскости [16]. Иными словами - это система, описываемая дифференциальными уравнениями, ее изучение предполагает анализ зависящих от времени явлений.

Диссипативная система - система, в которой наблюдается постоянное убывание энергии. (С другой стороны, термин "диссипативные структуры" был введен Пригожиным. Так Пригожин предложил называть устойчивые пространственные, временные, пространственно-временные структуры, образующиеся вдали от равновесия при надкритических значениях параметров в нелинейной области. )

Аттрактор - асимптотический предел (решений), на который не оказывает прямого влияния начальное условие (исходная точка). Наличие внутреннего трения (в самом широком смысле) ведет за собой существование аттрактора.

Консервативная (гамильтонова) система - система без трения. Их исследование требует своих специфических методов, т.к. в отсутствие аттрактора начальное условие обретает решающее значение.

Бифуркация - качественное изменение решения любого уравнения или их системы при фиксированном значении параметра, называемом критическим значением. Точка бифуркации - точка в параметрическом пространстве, в котором происходит такое изменение.

Нелинейность - свойство системы, при котором незначительное воздействие на эту систему может приводить к значительному изменению ее параметров, качественно иному состоянию системы.

Мультистабильность - сосуществование в сильно нелинейных системах при одних и тех же параметрах разных движений, которые могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми.

Фрактальная размерность - размерность фазового пространства, соответствующая некоторым множествам, которые не заполняют это пространство полностью. Эти множества, странные аттракторы, имеющие дробную размерность, соответствуют хаотическим режимам динамики нелинейных диссипативных систем. Множества с такой дробной размерностью тоже называются фрактальными. Фракталы позволяют удобно описывать системы, демонстрирующие склонность к хаосу.

Шум - беспорядочное поведение системы с очень большим числом степеней свободы.

Хаос - в науке до недавнего времени под хаосом понимали состояние системы, характеризующееся полным отсутствием порядка, как пространственного, так и временного, причем понятие порядка не определялось. В физике хаос стал динамическим понятием, трансформировавшись от хаоса конфигураций до хаоса движений. Это означает, что хаотически те или иные величины меняются во времени, т.е. мы имеем дело с хаотическими процессами развития различных физических систем. Иногда под хаосом понимают просто чувствительность к начальным условиям.

И все же пока в науке нет однозначного определения понятия "хаос". Каждый ученый, занимавшийся этой проблемой, предлагал свое толкование:

Филип Холмс, математик и поэт из Корнелла, - сложные апериодичные динамические системы (обычно с малым числом измерений);

Хао Бай-линь, китайский физик, собравший много основополагающих работ о хаосе в один справочник, - тип порядка, которому несвойственна периодичность, а также: быстро развивающаяся область исследований, в которую внесли важный вклад математики, физики, специалисты по гидродинамике, экологи, или: недавно признанный и повсеместно встречающийся класс естественных явлений;

X. Брюс Стюарт, ученый, посвятивший себя прикладной математике и работающий в Брукхевенской национальной лаборатории на Лонг-Айленде, - явно беспорядочное, повторяющееся поведение в простой детерминистской системе, похожей на работающие часы;

Родерик В. Дженсен из Йельского университета, физик-теоретик, изучающий возможность квантового хаоса, - иррегулярное и непредсказуемое поведение детерминистских нелинейных динамических систем;

Джеймс Кручфилд из Санта-Круса, - динамика с положительной, но ограниченной метрической энтропией, что в переводе с языка математики звучит следующим образом: поведение, которое порождает информацию (усиливает малые неопределенности), но не является полностью предсказуемым;

Форд, объявивший себя проповедником хаоса, - динамика, сбросившая наконец оковы порядка и предсказуемости... системы, каждую динамическую возможность которых теперь можно свободно рассматривать... разнообразие, которое будоражит, богатство выбора, изобилие вероятностей.

Джон Хаббард, изучая итерированные функции и бесконечные фрактальные множества системы Мандельбро, счел "хаос" слишком бесцветным названием для результатов своей работы, поскольку такой термин подразумевает наличие случайности. Хаббард же видел главное в том, что простые процессы в природе могли порождать величественные конструкции огромной сложности без всякой случайности. Все инструменты, необходимые для кодировки, а затем и раскрытия богатейших, как человеческий мозг, структур, заключались в нелинейности и обратной связи.

Другим специалистам, вроде Артура Уинфри, в чьи научные интересы входила глобальная топология биологических систем, название "хаос" казалось слишком узким. Оно включало в себя простые системы, одномерные структуры Файгенбаума, двухмерные и трехмерные странные аттракторы Руэлля, а также аттракторы с дробным числом измерений. С точки зрения Уинфри, хаос с малым числом измерений представлял собой особый случай.